ทฤษฎีความน่าจะเป็นเบื้องต้น

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเบื้องต้น

1.         เหตุการณ์ที่แยกกันโดยเด็ดขาด ( Mutually Exclusive Event )

คือเหตุการณ์ในการทดลองใด ๆ ถ้าใช้เหตุการณ์ E₁ และ E₂ แล้ว E ₁ และ E₂ จะไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมๆ กันได้ในการทดลองแต่ละครั้ง จะได้ค่า

เมื่อ S คือผลลัพธ์ที่เกิดขึ้น

ตัวอย่างที่ 6

ในการโยนเหรียญ 2 เหรียญ 1 ครั้ง จงคำนวณหาความน่าจะเป็นที่ จะออกหัวหรือก้อยทั้ง 2 เหรียญ

วิธีทำ S {HH,HT,TH,TT}, n(S) = 4

ให้ E₁ คือเหตุการณ์ที่ออกหัวทั้ง 2 เหรียญ

ให้ E₂ คือเหตุการณ์ที่ออกก้อยทั้ง 2 เหรียญ

ให้ E₁ กับ E₂ เป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน

ความน่าจะเป็นที่จะออกหัวหรือก้อยทั้งคู่ คือ 0.5

2.         เหตุการณ์ที่ไม่แยกจากันโดยเด็ดขาด ( Non – Mutually Exclusive Event )

ในการทดลองที่มีเหตุการณ์ E₁ และ E₂ มีเหตุการณ์ร่วมกันอยู่ และเป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ S ซึ่งจะได้

กฎข้อที่ 2 ถ้า E₁ และ E₂ เป็นเหตุการณ์ใด ๆ ที่เป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ S แล้ว

ตัวอย่างที่ 7

ในการสอบถามนักศึกษาจำนวน 45 คน ในการเรียนวิชาคณิตศาสตร์และบัญชีปรากฏว่านักศึกษา 20 คน ชองเรียนคณิตศาสตร์ นักศึกษา 25 คนชอบเรียนบัญชีและนักศึกษา จำนวน 10 คน ชอบเรียนคณิตศาสตร์และบัญชี จงหาความน่าจะเป็นที่นักศึกษาจะชอบเรียนคณิตศาสตร์หรือบัญชี

วิธีทำ ให้ E₁ เป็นเหตุการณ์ที่นักศึกษาเรียนคณิตศาสตร์

E₂ เป็นเหตุการณ์ที่นักศึกษาชอบเรียนวิชาบัญชี

จากกฎขอที่ 2

ความน่าจะเป็นของนักศึกษาที่ชอบเรียนคณิตศาสตร์หรือบัญชีคือ 0.77

3.         คอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์ ( Complementary Event )

ถ้าให้ E เป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นและเป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ S

Complementary ของ E₁ เขียนแทนด้วย E₁ ซึ่งค่า เท่ากับ S

                กฎข้อที่ 3  ถ้าให้ E₁ เป็น Complementary ของ E₁ แล้ว

               

ตัวอย่างที่ 8

สมชายมีลูกแก้วลักษณะเดียวกัน 6 ลูก อยู่ในกล่อง เป็นสี แดง สีน้ำเงิน และสีขาว อย่างละ 2 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่สมชายจะหยิบลูกแก้วขึ้นมาหนึ่งลูก แล้ว

1.      ได้ลูกแก้วสีแดงหรือสีขาว

2.      ไม่ได้ลูกแก้วสีแดงหรือสีขาว

วิธีทำ ให้ E เป็นเหตุการณ์การณ์ที่หยิบได้สีแดง

E เป็นเหตุการณ์ที่หยิบได้สีขาว

ในการหยิบลูกแก้วหนึ่งลูกยอมจะได้ 1 สี ฉะนั้น E และ E จะเกิดพร้อมกันไม่ได้

เป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน

ความน่าจะเป็นที่สมชายจะหยิบได้ลูกแก้วสีแดงหรือสีขาว คือ 0.66

2. เนื่องจากเหตุการณ์ที่ไม่ได้ลูกแก้วสีแดงหรือสีขาว คือ คอมพลีเมนต์ของ หรือ

= 1 - = 1 - 0.66  = 0.34

ความน่าจะเป็นที่สมชายจะไม่หยิบได้ลูกแก้วสีแดงหรือสีขาว คือ 0.34

อนุกรม

อนุกรม คือผลจากการบวกสมาชิกทุกตัวของลำดับไม่จำกัดเข้าด้วยกัน หากกำหนดให้ลำดับของจำนวนเป็น {a_n} = a₁,a₂,a₃,... อนุกรมของลำดับนี้ก็คือ a₁ + a₂ + a₃ + ... อนุกรมสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ของผลรวม ∑ เช่นตัวอย่างนี้เป็นอนุกรมของลำดับ {1 / 2ⁿ}

พจน์ของอนุกรมมักถูกสร้างขึ้นโดยกฎเกณฑ์เฉพาะ เช่นโดยสูตรคณิตศาสตร์ ขั้นตอนวิธี ลำดับของการวัด หรือแม้แต่การสุ่มจำนวน และเนื่องจากพจน์ในอนุกรมมีจำนวนไม่จำกัด อนุกรมจึงอาจเรียกว่าเป็น อนุกรมไม่จำกัด หรือ อนุกรมอนันต์ อนุกรมจำเป็นต้องมีเครื่องมือจากคณิตวิเคราะห์เพื่อที่จะทำความเข้าใจและเพื่อให้สามารถจัดการปรับแต่งได้ ไม่เหมือนกับผลรวมที่มีพจน์จำกัด นอกเหนือจากการใช้งานทั่วไปในคณิตศาสตร์ อนุกรมไม่จำกัดยังถูกใช้งานอย่างกว้างขวางในสาขาวิชาเชิงปริมาณ ตัวอย่างเช่นฟิสิกส์หรือวิทยาการคอมพิวเตอร์

สมบัติพื้นฐาน

อนุกรมสามารถสร้างขึ้นได้จากเซตหลายประเภทรวมทั้งจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชัน ฯลฯ นิยามต่อไปนี้จะถูกกำหนดบนจำนวนจริง แต่ก็สามารถทำให้เป็นกรณีทั่วไปได้

กำหนดให้ลำดับไม่จำกัดของจำนวนจริง {a_n} เรานิยามให้

เราเรียก S_N ว่าเป็น ผลรวมบางส่วน N พจน์ ของลำดับ {a_n} หรือ ผลรวมบางส่วนของอนุกรม อนุกรมคือลำดับของผลรวมบางส่วนเข้าด้วยกัน {S_N}

ความสับสนที่อาจเกิดขึ้น

เมื่อพูดถึงอนุกรม เราอาจหมายถึงลำดับ {S_N} ของผลรวมบางส่วน หรือหมายถึง ผลรวมของอนุกรม อย่างใดอย่างหนึ่ง ขึ้นอยู่กับบริบท

เพื่อที่จะแยกแยะความแตกต่างของทั้งสองความหมายนี้ จึงมีการซ่อนขอบเขตบนและล่างเครื่องหมายผลรวม เช่น

หมายถึงผลรวมของอนุกรม ซึ่งอาจจะมีหรือไม่มีผลรวมจริงๆ ก็ได้

อนุกรมลู่เข้าและลู่ออก

อนุกรม ∑a_n จะเรียกว่า ลู่เข้า (converge) เมื่อลำดับ {S_N} ของผลรวมบางส่วนมีลิมิตที่ไม่เป็นอนันต์ แต่ถ้าลิมิตของ S_N เป็นอนันต์หรือไม่มีลิมิต อนุกรมนั้นจะเรียกว่า ลู่ออก (diverge) และเมื่อผลรวมบางส่วนมีลิมิต เราเรียกลิมิตนั้นว่าเป็น ผลรวมของอนุกรม

วิธีที่ง่ายที่สุดที่จะทำให้อนุกรมไม่จำกัดเป็นอนุกรมลู่เข้า นั่นคือ a_n ทุกพจน์มีค่าเป็นศูนย์ ซึ่งสังเกตได้จากผลรวมบางส่วนของอนุกรม ส่วนการลู่เข้าของอนุกรมที่พจน์ต่างๆ ไม่เป็นศูนย์ เป็นสาระสำคัญของการศึกษาอนุกรมฟ

ลิมิตของฟังก์ชัน

สรุป  เรื่อง “ลิมิตของฟังก์ชัน “

ลิมิตของฟังก์ชัน

ลิมิตของฟังก์ชัน f(x) หมายถึง เมื่อ x เข้าใกล้ค่าๆหนึ่งแล้ว ค่า f(x) มีค่าเข้าใกล้ค่าคงตัวค่าหนึ่ง ค่านั้นเรียกว่า   ลิมิตของฟังก์ชัน

วิธีการหาค่าลิมิต    

ลองแทนค่า  x = a ลงใน f(x) แล้วดูว่า f(a) หาค่าได้หรือไม่

1.   ถ้า f (a) หาค่าได้ (เป็นจำนวนจริง) สรุปได้ว่า   

2.   ถ้า f(a) หาค่าไม่ได้ ซึ่งจะมีอยู่สองลักษณะ

     2.1   ถ้า f (a) มีค่าเป็น ¥ หรือ -¥ เราสามารถสรุปได้ว่า    ไม่มีลิมิต   (ลิมิตหาค่าไม่ได้)

     2.2   ถ้า f(a) มีค่าอยู่ในรูป  แสดงว่า f(x) ต้องอยู่ในรูปเศษส่วน ดังนั้นเราต้องพยายามแยก

            ตัวประกอบตัวเศษและตัวส่วน ให้มี (x - a) แล้วกำจัด (x - a) ทั้งเศษและส่วนทิ้ง หลังจากนั้นแทนค่า x = a ลงไป 

            ค่าที่ได้เป็นลิมิต

   [ในกรณี f(x) มีเทอม ( Öÿ+ÖD ) รวมอยู่ด้วย ให้นำคอนจุเกตของ ( Öÿ+ÖD ) คูณทั้งเศษและส่วน]

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟังก์ชัน

ลิมิตทางซ้ายและลิมิตทางขวาของฟังก์ชัน f(x) [left hand and right hand limit]

   1.   เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางซ้าย  ( หมายความว่า  ค่า x < a )  เขียนแทนด้วย “ x ® a^- “  ( a^- <  a )  ถ้า   

        หาค่าได้  เราเรียกว่า  ลิมิตทางซ้ายของ f(x)

    2.   เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางขวา  ( หมายความว่า  ค่า x > a )  เขียนแทนด้วย “ x ® a⁺ “  ( a⁺ >  a )  ถ้า   

        หาค่าได้  เราเรียกว่า  ลิมิตทางขวาของ f(x)

    3.      ก็ต่อเมื่อ  

    [ถ้า   แล้ว  หาค่าไม่ได้]

ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน  [Continuity]

ฟังก์ชัน f(x) จะมีความต่อเนื่องที่จุด x = a ก็ต่อเมื่อ

1.   สามารถหาค่า f(a) ได้

2.   สามารถหาค่า  ได้

3.   f(a)  =   

การแยกตัวประกอบ

การแยกตัวประกอบ (อังกฤษ: factorization) ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึงการแบ่งย่อยวัตถุทางคณิตศาสตร์ (เช่น จำนวน พหุนาม หรือเมทริกซ์) ให้อยู่ในรูปผลคูณของวัตถุอื่น ซึ่งเมื่อคูณตัวประกอบเหล่านั้นเข้าด้วยกันจะได้ผลลัพธ์ดังเดิม ตัวอย่างเช่น จำนวน 15 สามารถแยกตัวประกอบให้เป็นจำนวนเฉพาะได้เป็น 3 × 5 และพหุนาม x² − 4 สามารถแยกได้เป็น (x − 2)(x + 2) เป็นต้น

จุดมุ่งหมายของการแยกตัวประกอบคือการลดทอนวัตถุให้เล็กลง อาทิ จากจำนวนไปเป็นจำนวนเฉพาะ จากพหุนามไปเป็นพหุนามลดทอนไม่ได้ (irreducible polynomial) การแยกตัวประกอบจำนวนเต็มเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต ส่วนการแยกตัวประกอบพหุนามเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต สำหรับพหุนาม สิ่งที่ตรงข้ามกับการแยกตัวประกอบคือการกระจายพหุนาม (polynomial expansion) ซึ่งเป็นการคูณตัวประกอบทุกตัวเข้าด้วยกันเป็นพหุนามใหม่

การแยกตัวประกอบจำนวนเต็มสำหรับจำนวนขนาดใหญ่อาจกลายเป็นข้อปัญหาที่ยุ่งยาก ซึ่งไม่มีวิธีใดที่สามารถแยกตัวประกอบจำนวนขนาดใหญ่ได้อย่างรวดเร็ว แต่ความยุ่งยากนี้เป็นประโยชน์ต่อการรักษาความปลอดภัยในขั้นตอนวิธีของการเข้ารหัสลับแบบกุญแจอสมมาตร อย่างเช่น RSA

สำหรับการแยกตัวประกอบของเมทริกซ์เรียกว่า การแยกเมทริกซ์ (matrix decomposition) ซึ่งมีวิธีการที่เหมาะสมแตกต่างกันไปสำหรับเมทริกซ์นั้นๆ เช่น การแยกแบบคิวอาร์ (QR decomposition) เป็นต้น วิธีหลักอย่างหนึ่งที่นิยมคือการทำให้เป็นผลคูณของ เมทริกซ์เชิงตั้งฉาก (orthogonal matrix) หรือเมทริกซ์ยูนิแทรี (unitary matrix) กับเมทริกซ์แบบสามเหลี่ยม (triangular matrix)

อีกตัวอย่างหนึ่งของการแยกตัวประกอบคือการแยกฟังก์ชันให้กลายเป็นการประกอบฟังก์ชัน (function composition) กับฟังก์ชันอื่นโดยมีเงื่อนไขที่เจาะจง ตัวอย่างเงื่อนไขเช่น ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการประกอบของฟังก์ชันทั่วถึง (surjective function) กับฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective function)

การแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนเต็ม

ดูบทความหลักที่ การแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม

จำนวนเต็มบวกทุกจำนวนสามารถแยกตัวประกอบเฉพาะและได้ผลลัพธ์เพียงแบบเดียวตามทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต เราสามารถแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มโดยการหารจำนวนนั้นด้วยจำนวนเฉพาะซ้ำๆ จนกว่าจะไม่มีจำนวนเฉพาะอื่นใดหารได้ จะได้ว่าจำนวนเฉพาะที่เป็นตัวหารทั้งหมดคือตัวประกอบของจำนวนนั้น ซึ่งวิธีการนี้เป็นขั้นตอนวิธีหลักของการแยกตัวประกอบจากจำนวนเต็มซึ่งใช้ได้ผลกับจำนวนน้อยๆ สำหรับจำนวนเต็มขนาดใหญ่ยังไม่มีขั้นตอนวิธีใดที่มีประสิทธิภาพที่สุด อย่างไรก็ตามยังมีวิธีการที่หลากหลายแตกต่างกันออกไปเพื่อแยกตัวประกอบจำนวนขนาดเล็ก ไปเลย