พื้นที่ผิวและปริมาตร

พื้นที่ผิวและปริมาตร

วัตถุประสงค์

1. นักเรียนสามารถคำนวณหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิตได้

2. นักเรียนสามารถบอกส่วนประกอบของรูปทรงเรขาคณิตชนิดต่าง ๆ ได้

3. นักเรียนสามารถคำนวณหาปริมาตรของทรงเรขาคณิตได้

4. นักเรียนสามารถคำนวณหาพื้นที่ผิวของทรงเรขาคณิตได้

ความพร้อม

นักเรียนจะเรียนรู้เรื่องพื้นที่ผิว ปริมาตร พื้นที่ผิวโค้ง ควรมีความรู้ ความเข้าใจพื้นฐานต่อไปนี้

1. การหาพื้นที่ คิดเพียง 2 มิติ มีหน่วยการวัดเป็นตารางหน่วย

2. การหาปริมาตร คิด 3 มิติ มีหน่วยการวัดเป็นลูกบาศก์หน่วย

3. สมบัติ เกี่ยวกับมุม ด้าน และเส้นทแยงมุม ของรูปสี่เหลี่ยมและรูปสามเหลี่ยม

4. สูตรการหาพื้นที่รูปเหลี่ยมต่าง ๆ

4.1 สามเหลี่ยมใด ๆ = ×

2

1 ฐาน× สูง

= s(s − a)(s − b)(s − c) เมื่อ a,b,c เป็นความยาวของด้านทั้งสาม

และ S = 2

a + b + c

4.2 สามเหลี่ยมมุมฉาก = ×

2

1 ผลคูณของด้านประกอบมุมฉาก

4.3 สามเหลี่ยมด้านเท่า = 4

3 × (ด้าน)2

4.4 สามเหลี่ยมฐานโค้ง = r

360

D ×π 2 (เมื่อ D คือมุมยอด)

4.5 สี่เหลี่ยมจัตุรัส = (ด้าน) 2 หรือ (เส้นทแยงมุม) 2

4.6 สี่เหลี่ยมผืนผ้า = กว้าง × ยาว

4.7 สี่เหลี่ยมด้านขนาน = ฐาน × สูง

4.8 สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน = ×

         1 ผลคูณของเส้นทแยงมุม หรือ ฐาน× สูง

4.9 สี่เหลี่ยมคางหมู = ×

        1 สูง × ผลบวกด้านคู่ขนาน หรือ

4.10 สี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า = ×

       1 เส้นทแยงมุม × ผลบวกของเส้นกิ่ง

4.11 สี่เหลี่ยมรูปว่าว = ×

      1 ผลคูณของเส้นทแยงมุม

4.12 เส้นรอบวงของวงกลม = 2πr หรือ πD (เมื่อ D คือเส้นผ่านศูนย์กลาง)

4.13 พื้นที่วงกลม = πr 2

4.14 พื้นที่ผิวทรงกลม = 4πr 2

4.15 พื้นที่ผิวกรวยกลม = πrl (l = สูงเอียง)

4.16 ปริมาตรของทรงกลม = r 3

4.17 ปริมาตรทรง 􀂅 มุมฉาก = พื้นที่ฐาน × สูง หรือ กว้าง × ยาว × สูง

4.18 ปริมาตรทรงกระบอก = พื้นที่ฐาน × สูงตรง

4.19 พื้นที่ผิวข้างทรงกระบอก = 2πrh หรือ เส้นรอบวงที่ฐาน × สูง

4.20 ปริมาตรของพีระมิด = ×

1 พื้นที่ฐาน × สูงตรง

4.21 ปริมาตรของกรวยกลม = ×

1 พื้นที่ฐาน × สูง

5. ความรู้เกี่ยวกับทฤษฎีทั่ว ๆ ไป Δ

5.1 การเท่ากันทุกประการของ

1.1 ด.ด.ด.

1.2 ด.ม.ด.

1.3 ด.ฉ.ด.

1.4 ม.ด.ม.

5.2 ทฤษฎีปีทาโกรัส

a และ b เป็นด้านประกอบมุมฉาก และ c เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก จะได้ c2 = a2 + b2

5.3 การเท่ากันของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบท : สามเหลี่ยมสองรูปถ้ามีฐานยาวเท่ากันหรือยู่บนฐานเดียวกันและมีส่วนสูง

เท่ากัน สามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะมีพื้นที่เท่ากัน

D  C  A  B

จากรูป

พื้นที่รูป Δ ABD เท่ากับ

พื้นที่รูป ΔADC

ปริซึมทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ปริซึมหน้าตัดสามเหลี่ยม ปริซึมหน้าตัดห้าเหลี่ยม

สัน  สัน  ยอด  สูงเอียง  ฐาน  ส่วนสูง  ยอด  ส่วนสูง  สัน  ฐาน  สัน

พีระมิดฐานรูปสามเหลี่ยม พีระมิดฐานรูปหกเหลี่ยม

ปริซึม (Prism) คือทรงสามมิติที่มีหน้าตัดหัวท้ายเป็นรูปเหลี่ยมต่าง ๆ เหมือนกันทั้งหัวและท้าย

โดยมีพื้นที่เท่ากัน รูปแบบเดียวกันและขนานกัน ด้านข้างของปริซึมขนานกันและเป็นความยาวของปริซึม

โดยพื้นที่ด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทุกรูป

ปริซึมมีหลายลักษณะขึ้นอยู่กับหน้าตัดของรูปนั้น ๆ เช่น หน้าตัดเปน็ รูปสามเหลี่ยม เรียกปริซึม

สามเหลี่ยม หน้าตัดเป็นรูปห้าเหลี่ยม เรียกปริซึมห้าเหลี่ยม เป็นต้น

พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย

พื้นที่ผิวข้างของปริซึม = ความยาวเส้นรอบฐาน × ความสูง

ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน × สูง

พีระมิด (Pyramid) คือทรงสามมิติที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใด ๆ มียอดแหลมซึ่งไม่อยู่บนระนาบ

เดียวกับฐาน และหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกันที่ยอดแหลมนั้น

นิยมเรียกชื่อของพีระมิดตามลักษณะของฐาน เช่น พีระมิดฐานสามเหลี่ยม พีระมิดฐาน

สี่เหลี่ยมผืนผ้า พีระมิดฐานหกเหลี่ยมด้านเท่า เป็นต้น

พีระมิดตรง  หน้า  ยอด  ฐาน  ส่วนสูง  สูงเอียง  พีระมิดเอียง

พีระมิดแบ่งออกเป็น 2 ลักษณะคือ พีระมิดตรงและพีระมิดเอียง

พีระมิดตรง หมายถึงพีระมิดที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า มีสันยาวเท่ากันทุกเส้น

จะมีสูงเอียงทุกเส้นยาวเท่ากัน และส่วนสูงตั้งฉากกับฐานที่จุดซึ่งอยู่ห่างจากจุดยอดมุมของรูปเหลี่ยม

ที่เป็นฐานเป็นระยะเท่ากันมีหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ส่วนกรณีที่สันทุกสันยาวไม่เท่ากัน

สูงเอียงทุกเส้นยาวไม่เท่ากัน เรียกว่า พีระมิดเอียง

พื้นที่ผิวของพีระมิด (Surface area of pyramid)

พื้นที่ของหน้าทุกหน้าของพีระมิดรวมกันเรียกว่า พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด และพื้นที่ผิวข้าง

ของพีระมิดรวมกับพื้นที่ฐานของพีระมิดเรียกว่า พื้นที่ผิวของพีระมิด

สูตรการหาพื้นที่ผิวของพีระมิด

พื้นที่ผิวข้าง 1 ด้าน = 2

1 × ฐาน × สูงเอียง

พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้างทุกด้าน

ในกรณีที่เป็นพีระมิดตรงและมีฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่าทุกเท่า

พื้นที่ผิวข้างทุกด้าน = 2

1 × ความยาวเส้นรอบฐาน × สูงเอียง

ปริมาตรของพีระมิด = 3

1 × พื้นที่ฐาน × สูง

ยอด  ส่วนสูง  หน้า  ฐาน  สัน  สูงเอียง  สัน

h คลี่ออก พื้นที่ผิวข้าง

พื้นที่ฐาน

h2πr 2

ทรงกระบอก

ทรงกระบอก (Cylinder) คือ ทรงสามมิติที่มีฐานเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการ และอยู่ใน

ระนาบที่ขนานกัน เมื่อตัดทรงสามมิตินี้ด้วยระนาบที่ขนานกับฐานแล้ว จะได้รอยตัดเป็นวงกลมที่เท่ากัน

ทุกประการกับฐานเสมอ

พื้นที่ผิวของทรงกระบอก (Surface area of cylinder)

พื้นที่ผิวของทรงกระบอก ประกอบด้วยพื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก และพื้นที่ฐานทั้งสองของ

ทรงกระบอก

พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก + พื้นที่ฐานของทรงกระบอก

ถ้าทรงกระบอกมีส่วนสูงยาว h หน่วย

ฐานมีรัศมียาว r หน่วย จะได้

พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก = 2πrh

พื้นที่ฐานทั้งสองของทรงกระบอก = 2 πr 2

ดังนั้น พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = 2πrh + 2πr 2 ตารางหน่วย

หรือ = 2πr (h + r ) ตารางหน่วย

r แทนรัศมีของฐานของทรงกระบอก

h แทนความสูงของทรงกระบอก

หน้าตัดหรือฐาน

แกน  ส่วนสูง  หน้าตัดหรือฐาน  รัศมี

กรวยตรง กรวยเอียง

ปริมาตรทรงกระบอก

ปริมาตรทรงกระบอก = พื้นที่ฐาน × สูง

ปริมาตรทรงกระบอก = πr 2h

กรวย (Cone)

กรวย (Cone) คือทรงสามมิติที่มีฐานเป็นรูปวงกลม มียอดแหลมที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกับฐาน

และเส้นที่ต่อระหว่างจุดยอดและจุดใด ๆ บนขอบของฐานเป็นส่วนของเส้นตรงที่ยาวเท่ากัน เรียก สูงเอียง

และกรวยที่มีสูงเอียงยาวเท่ากันเรียกว่า กรวยตรง

พื้นที่ผิวของกรวย (Surface area of cone)

พื้นที่ผิวของกรวย เป็นพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมฐานโค้ง ประกอบด้วยพื้นที่ผิวข้างกับพื้นที่ฐาน

ของกรวย

พื้นที่ผิวของกรวย = พื้นที่ผิวข้างของกรวย + พื้นที่ฐานของกรวย

ถ้ากรวยมีส่วนสูงเอียง l หน่วย และรัศมีที่ฐานของกรวยยาว r หน่วย

จะได  พื้นที่ผิวข้างของกรวย = πrl ตารางหน่วย

พื้นที่ฐานของกรวย = πr 2 ตารางหน่วย

ดังนั้น พื้นที่ผิวของกรวย = πrl +πr 2 ตารางหน่วย

เมื่อ r แทนรัศมีของฐานกรวย และ l แทนความสูงเอียงของกรวย

ยอด  สูงเอียง  ส่วนสูง  แกน  ฐาน  รัศมี 

ปริมาตรของกรวย (Volume of cone)

ปริมาตรของกรวย = 3

1 ของปริมาตรของทรงกระบอกซึ่งมีพื้นที่ฐานและความสูงเท่ากับกรวย

ปริมาตรของกรวย = r 2h

1π ลูกบาศก์หน่วย

เมื่อ r แทนรัศมีของฐานกรวย และ h แทนความสูงของกรวย

ทรงกลม (Sphere)

ทรงกลม (Sphere) คือทรงสามมิติที่มีผิวเรียบโค้งและจุดทุกจุดบนผิวโค้งอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่ง

เป็นระยะเท่ากัน จุดคงที่นั้นเรียกว่า จุดศูนย์กลางของทรงกลม และระยะที่เท่ากันนั้นเรียกว่า รัศมีของทรงกลม

พื้นที่ผิวของทรงกลม (Surface area sphere)

พื้นที่ผิวของทรงกลม เป็นสี่เท่าของพื้นที่รูปวงกลม ซึ่งมีรัศมีเท่ากับรัศมีของทรงกลมนั้น

ดังนั้น พื้นที่ผิวของทรงกลม = 4πr 2 ตารางหน่วย

เมื่อ r แทนรัศมีของทรงกลม  วงกลมใหญ่

เส้นผ่านศูนย์กลางวงกลมใหญ่    จุดศูนย์กลาง   ผิวโค้งเรียบ

ปริมาตรของทรงกลม (Volume of sphere)

ปริมาตรของทรงกลม = 3

4 πr ลูกบาศก์หนว่ ย

เมื่อ r แทนรัศมีของทรงกลม

วิธีการนำเสนอ

ตัวอย่าง ถังน้ำสี่เหลี่ยมมุมฉากกว้าง 3 เมตร ยาว 7 เมตร มีน้ำบรรจุอยู่ 105 ลูกบาศก์เมตร

ระดับน้ำจะสูงกี่เมตร

แนวคิด ปริมาตร = กว้าง × ยาว × สูง

สูง = กว้าง ยาว

ปริมาตร×ระดับน้ำสูง = 3 7 105×  = 5 เมตร     ตอบ 5 เมตร__